Um estudo sobre as funções hiperbólicas e suas possíveis aplicações no ensino médio

Abstract

O trabalho em apreço apresenta um estudo minucioso das funções hiperbólicas, suas possíveis aplicações no ensino básico e no ensino de Cálculo 1, além de diversas construções gráficas realizadas com o auxílio do software GeoGebra. Para tanto, fez-se primeiramente, um estudo sobre as funções trigonométricas circulares (clássicas) com uma visão histórica, integradora e interdisciplinar. Buscou-se obter uma relação intrínseca entre a exponencial natural, o logaritmo neperiano, as funções hiperbólicas e a trigonometria circular. Tanto a argumentação, quanto as construções referentes à geometria hiperbólica apresentadas aqui, priorizaram os conhecimentos básicos correlatos a este tema, e que são amplamente estudados na educação básica. Este fato no entanto, apenas direcionou o desenvolvimento deste trabalho trazendo mais leveza ao texto sem limitá-lo. Nossa abordagem, perpassou por definições oriundas de uma abordagem geométrica, para a função exponencial natural, e para o cálculo da área sob a faixa da hipérbole equilátera, seguida de uma abordagem algébrica, na qual aplicaram-se algumas estruturas do Cálculo com a finalidade de averiguar a validade dos argumentos propostos, bem como do uso das propriedades das funções reais para compor e estruturar nossa linha de raciocínio. O que nos permitiu evidenciar algumas das principais relações entre as funções circulares, as funções hiperbólicas e suas representações gráficas por meio do software GeoGebra. Durante o desenvolvimento deste estudo, destacou-se a real possibilidade de se ensinar sobre as funções hiperbólicas desde o ensino médio, logo após o estudo de funções, dado que estas, por sua vez, ou são combinações de funções exponenciais naturais, ou são combinações de funções logarítmicas naturais com certas funções polinomiais. Cabe ressaltar, que as matrizes do grupo de Lorentz têm parametrizações que permitem escrever suas entradas como certas funções hiperbólicas e, além disso, as hipérboles aparecem naturalmente, como secções cônicas na Geometria Analítica. Por fim, após a verificação das grandes semelhanças entre a trigonometria circular e a hiperbólica, suas similaridades quanto às suas propriedades elementares, e suas derivadas, entre outras, utilizou-se o software GeoGebra para dar uma construção capaz de diferenciar a catenária de uma hipérbole equilátera e de uma parábola com os mesmos vértices, o que foi realizado de um modo didático e acessível ao público do ensino médio e/ou graduação.